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　これは、ようするに二つ目の表示が、「今日の『天気』は雨です」となって欲しい所、「今日の『天気『は雨です」となっちゃうので困ったなとゆうことでいいですか？
　なんでそうなるかって言うと""は「」や『』と違って、前後が一緒のヤツでですから、「テキストの「"」を「『」に置換。」とした段階でもう、前後両方の「"」が「『」に置換されちゃってるワケですよ。
　ですから、二回目の「テキスト1の「"」を「』」に置換。」の時には、テキスト1の中にはもう、「"」はありません。
　で、どうすんのかと言えば、手立ては色々とありましょうが、正規表現置換を使うのが一番簡単なんじゃないでしょうか。
　同じ要領で、「」を『』の場合も、一行で書くことが出来ますよ。
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テキスト=「今日の"天気"は雨です」
テキストを表示。
テキストの「"(.*?)"」を「『$1』」へ正規表現置換。
それを表示。

テキスト="今日の「天気」は雨です"
テキストを表示。
テキストの「{カッコ}(.*?){カッコ閉じ}」を「『$1』」へ正規表現置換。
それを表示。
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.　……　任意の1文字。
*?　……　直前の文字の0回以上の繰り返し（最短一致）。
()で括った部分の一致した内容を記憶して、$1で取り出せます。
""で括られた文字列を探し、"を省いた中身だけを記憶して、『』の中に入れるってコトです。
正規表現は他にもいっぱいあるので、検索してみてね。